已知{an}满足a1=1,an+1=（2an）+1⑴求{an}⑵若{bn}满足4^(b1-1)*…*4^(bn-1)=[(an)+1]^bn证明{bn}为等差

解：⑴叠加法
(an+1)-2*an=1
2^1*an-2^2*(an-1)=2^1
…
2^(n-1) *a2-2^n* a1=2^(n-1)
(an+1)-2^n*a1=2^0+2^1+…+2^(n-1)=2^n-1
因为a1=1
所以an=2^n-1
⑵可将式子简化为
2^2(b1+b1+…+bn)-2n=2^n*bn
b1+b2+…+bn=(n*bn-2n)/2
因为b1=2
所以b1+b2+…+bn=n(b1+bn)/2满足等差数列的求和公式
得证

真辛苦呀！

a_{n+1}+1=2(a_{n}+1)
so a_{n}+1=2^{n-1}(a_{1}+1)=2^{n}
due to 4^(b1-1)*…*4^(bn-1)=[(an)+1]^bn
so b1+b2+..+bn-n=nbn/2 @(如果到这一步就结束 那么你有能有1/3的分数 如果用等差数列拿来验证 这只是一个必要条件 你要做的是证明它是一个充要条件)
so b1+b2+..+bn+b_{n+1}-(n+1)=(n+1)b_{n+1}/2 #
2(# - @):
2b_{n+1}-2=(n+1)b_{n+1}-nb_{n}
n-1b_{n+1}-nb_{n}=-2 $
(b_{n+1}/n)-(b_{n}/(n-1))=-2(1/n(n-1))=-2(1/(n-1)-1/n)
so b_{n}/(n-1)-b2/1=-2(1-1/(n-1))
so b_{n}=(n-1)b2+2-2(n-1)
and b1-1=b1/2 so b1=2
and due to $ so b2-b1=-2 so b2=0
so so so so b_{n}=4-2n
ps 这道题明显有一个组合形式题分为求a_{n}和b_{n} 是老题目了
在多处用到裂项和迭代)

an=2^n-1
后面一体地球人都会做了